在數(shù)字信號處理中，快速傅里葉變換（FFT）是分析信號頻率成分的核心工具。然而，直接對有限長度的采樣數(shù)據(jù)做FFT，得到的頻譜圖往往呈現(xiàn)鋸齒狀，難以精確觀察頻率細節(jié)。此時，在數(shù)據(jù)末尾追加零值點，即“補零”（Zero-Padding），成為一種常用的視覺增強手段。

補零操作能在不改變原始信號信息的前提下，顯著提高頻譜的視覺分辨率，使譜線更光滑、峰值定位更清晰。不過，這一提升本質上是插值效應帶來的視覺效果，并未改善信號固有的物理頻率分辨率——后者仍由實際采樣時間決定。本文將通過幾組對比具體看看補零之后針對視覺分辨率的優(yōu)化效果。

我們給出一個原始信號，含有3個頻率分量，分別是50，100，100.5Hz，幅度都是1。采樣頻率是fs為1000Hz，采集時長T為1s，總共采集N=1000個點。時域上的原始波形和未補零的波形如下。

在采集1s原始信號的情況下，實際上頻率分辨率就只是1Hz，相同的幅度下，50Hz頻點處的信號幅度是可以和我們原始信號的幅度對應起來的。但是由于當前的采樣時間下的信號做FFT之后，F(xiàn)FT頻率分辨率δf為1/T ，直接做FFT，頻域的數(shù)據(jù)間隔為1Hz。從上圖可以看到50Hz頻點處的信號頻率和幅值都是正常的。

對于100Hz和100.5Hz信號，我們放大該頻點的信號可以看到下圖，100Hz的信號幅度更高。信號在這個頻點發(fā)生了頻譜泄露，因為對采集到的1s原始信號直接做FFT等于給信號加了一個矩形窗，1s的采集時長也不足以把整個原始信號的周期都采集完。原始信號的100.5Hz的能量泄漏到了附近的100Hz和101Hz的頻點。

所以我們在這種情況下沒辦法看到實際上的100.5Hz的頻率分量，而且由于頻譜泄露（沒有采到完整信號周期），還容易誤判100Hz的頻點的能量更高。

針對這種情況，“補零”可以起到一定的作用。

接著上圖的解釋，我們先理解一下“柵欄效應”。由于頻率分辨率只是1Hz，相當于目前我們只是通過1間距為1Hz的柵欄，從空隙中觀察真實的FFT信號，但是100.5Hz的信號剛好被柵欄擋住了，見下圖，我們是沒有辦法看到該頻點具體情況的。

為了可以觀察更多的頻點數(shù)據(jù)，可以先試試把柵欄的間距調小一點，見下圖，觀察到更多的頻點數(shù)據(jù)。而“補零”可以讓這種這些柵欄的間距小一些。

我們對原始數(shù)據(jù)補24個零值，長度補到1024個點。

可以看到，“補零”之后，F(xiàn)FT數(shù)據(jù)點更多了，delta f也成為了更小的0.976Hz。

FFT波形的點數(shù)變多了，看上去相比直接做FFT更連貫順滑一點。補零點數(shù)不夠的時候可能會不明顯，但是補到2000個點，看上去效果更明顯一點。

上圖可以看到補零的點數(shù)越多，做出來的FFT點數(shù)越多，但是上圖看到的即便補零到2000點，F(xiàn)FT能看到的100Hz和100.5Hz頻點的幅度也是不正常的。

這就涉及到剛開始說到的視覺分辨率了。

實際采集到的頻率分辨率只和采集時間T有關，我們對數(shù)據(jù)進行“補零”操作，比如增加到1024個點，對于視覺效果優(yōu)化，可以理解為我們按照1000Hz采樣率采集了1024個點，1.024s的數(shù)據(jù)，這個時候FFT畫出來的圖形，頻率分辨率是1/1.024= 0.9765625Hz。

同理，補零到2000個點，畫出來的圖形的頻率分辨率是0.5Hz。所以相對來說，F(xiàn)FT的數(shù)據(jù)點更多，還出來的圖形更連貫順滑。但是原始數(shù)據(jù)是不變的，我們增加的全都是零值，這個只影響FFT畫圖畫出來的數(shù)據(jù)點多少，本質上沒有增加任何原始數(shù)據(jù)。這也是即便補零補到2000個數(shù)據(jù)點，看到的100Hz和100.5Hz頻點幅度也是超過1的原因。

但是，“補零”后顯示效果優(yōu)化了，相比我們沒進行“補零”前的數(shù)據(jù)，起碼現(xiàn)在我們可以知道在100.5Hz頻點能量和100Hz處能量是一致的。

如果想看到更真實的數(shù)據(jù)，也可以調整下采集時間，比如下圖，直接調到2s采集時間，實際的頻率分辨率可以到0.5Hz，看到的FFT效果還是比較理想的。